لماذا الرياضيات - الجزء الثاني

لقد قادتنا الرياضيات، عبر تاريخ تطورها الطويل، إلى تصور فكري محدد وغير ضبابي لفكرة اللانهاية عبر نظرية المجموعات؛ وأوضحت لنا مفهومي الحركة والاستمرار عبر حساب التفاضل والتكامل؛ وحددت لنا معنى الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات؛ وأخيراً وليس آخراً، يعالج أحدث فروع الرياضيات مفهومي النظام والفوضى ليعطيهما معنى رياضياً لا لبس فيه، وهو الأمر الذي تتصدى له نظرية الشواش Chaos Theory. بيد أن تأملاً عميقاً يجعلنا نرى في هذه الأمثلة الوجه الآخر للتطور الرياضي: لقد أعطت دراسة نظريات المجموعات لعقولنا مقدرة أعلى، فأصبح بإمكانها تحليل اللانهاية؛ وزوَّد فهم التحليل الرياضي أدمغتنا بأضواء جديدة يلقيها على مفهوم الحركة؛ ومنحتنا نظرية الاحتمالات بصيرة نواجه من خلالها إشكالية الصدفة... ولا يخفى على أحد أن مفاهيم من هذا النمط: اللانهاية – الحركة – الصدفة – النظام والفوضى، الخ. هي مفاهيم–مفاتيح في فهمنا للكون والتعرف إليه. ولكن... كيف تفعل الرياضيات ذلك؟ بأية طريقة؟

البنية الرياضية:
يصوِّر لنا أستاذ الرياضيات الأميركي ديفيد برغاميني طبيعة تكوين البناء الرياضي بأسلوب أدبي مرح فيقول: "إن الرياضيات قد بلغت من التعقيد حداً يجعل صحة نقطة انطلاق ما أو عدم صحتها غير ذي أهمية. بل إن المهم هو أن نحاكم نقطة الانطلاق محاكمة سليمة حتى نخرج منها بنتيجة. ويستطيع الرياضي، وفق هذه القاعدة، أن يفرض، دون تردد أو وَجَل، أن القمر مصنوع من جبنة خضراء، ثم أن يلجأ إلى مناقشة مقنعة، مستخدماً سلسلة من نقاط الانطلاق الأخرى حتى يصل إلى نتيجة، يستحث فيها ملاحي الفضاء على حمل البسكويت معهم. وواقع الأمر أن عظمة الرياضيات إنما تكمن في كونها لا تقوم على أسس منطقية بالضرورة. بل إن بعض فروع الرياضيات إنما تبنى على فرضيات تتحدى الخيال والحس السليم والمنطق الفطري، أو بالأحرى، تسمو بالخيال وتهذب الحس وترتفع بالمنطق الفطري إلى درجة أعلى. إن كل ما يلزم لإقامة بناء رياضي هو وضع فرضيات نختارها بشكل لا يتعلَّق بصحتها أو خطئها، ثم الالتزام بعد ذلك بمعالجة الفرضيات الموضوعة واستخلاص نتائج جديدة منها، ضمن قواعد المنطق؛ فتكون جميع هذه النتائج صحيحة ومقبولة وجزءاً من البنية التي نقوم بوضعها. بيد أن الغريب في الأمر هو أن جميع فروع الرياضيات وبناها، الموضوعة وفق هذه الطريقة، تلتقي فيما بعد في قَواسِم مشتركة وتتكامل، من جهة أخرى، مع بعضها بعضاً، لتصوِّر لنا، بشكل أكثر فأكثر كمالاً، صورة البناء الرياضي للطبيعة بأسرها.
لقد كانت حقيقة وجود بناء رياضي ينتظم الطبيعة أمراً مسلَّماً به خلال جميع العصور؛ وقد عبَّر عنه أفلاطون قديماً حين قال: "ما انفكَّ الإله يمارس الهندسة" – القول الذي كرَّره، بعد ألفي عام، الألماني جاكوبي قائلاً: "ما انفك الإله يمارس الحساب." أما جيمس جينز فهو يرى أن "مهندس هذا الكون العظيم قد بدأ يظهر على أنه عالم رياضي بحت!"
ثمة قناعة راسخة، عند كبار العلماء والمفكرين عبر جميع العصور، تؤكد أن الظواهر الطبيعية، بجملتها وتفصيلها، هي انعكاس مادي يقوم وراءه بناء رياضي مجرد، يعبَّر عنه بالمعادلات والرموز والأعداد والأشكال، وكأن العالَم المادي مصمَّم وفق بنية رياضية يشبه بناؤها البنية التي تحدَّثنا عنها.
إن ديكارت الذي كان يعتبر نفسه فيلسوفاً أكثر منه رياضياً، قد طرح تساؤلاً حول مدى استطاعة الرياضيات – وليدة التفكير البحت للعقل البشري – تزويدنا بالمعرفة عن العالم الطبيعي، لو لم تكن هذه الرياضيات نفسها قائمة في جوهر خلق العالم. أما غاليليو – وهو نفسه العالم الذي اضطهد لقوله بدوران الأرض – فهو يرى "أن المبادئ الرياضية هي الأبجدية التي كتب بها الله هذا العالم؛ وبدونها سوف يكون صعباً علينا أن نفهم كلمة واحدة من كتاب الطبيعة".
إن هذا التطابق بين البناء الرياضي والبناء الطبيعي، ليس أمراً شديد الأهمية فحسب، بل هو بالنسبة للرياضيين مصدر فرح وغبطة. يقول الرياضي ليو كادانوف: "إنها لعمري تجربة لا نظير لها. أن يعي العالِم أن ما يجري في دماغه يتناسب تماماً مع ما يجري في الطبيعة. إنها أفضل ما يمكن أن يحدث للرياضي. ولكم هو رائع أن يكون ذلك ممكناً. إن الدهشة تتملَّكه إذ يكتشف أن بناءً قد أشاد صرحه عبر فكره الخاص يمكن أن يتحقق بالفعل في عالم الواقع. أية صدمة كبرى، وأي فرح كبير جداً جداً!"
كان اكتشاف الهندسات اللاإقليدية خلال القرن الماضي أحد أكبر الامتحانات لقدرة الرياضيات على النطق باسم الطبيعة. فقد تحدَّت هندسة لوباتشفسكي، ومن بعدها هندسة ريمَن، وغيرهما من الهندسات، أن تجد تطبيقاً لها أو إمكانية لإسقاطها في العالم الطبيعي. فقد بدت هندسة لوباتشفسكي، بدايةً، ضرباً من الشطح الفكري، إن لم يكن من الجنون، واعتُبِرت نوعاً من بناء رياضي مجرد لا سبيل للإفادة منه. لكن ذلك لم يَطُلْ جداً؛ إذ سرعان ما وجدت الهندسات اللاإقليدية، على تنوعها وتعددها، تطبيقاتها المختلفة، بدءاً من العلوم البيولوجية وانتهاءً بالنظرية النسبية، لتثبت لنا مرة أخرى أن عالم المطلق يوازي دوماً عالم الواقع، أو كما قيل في القديم: "كما في السماء كذلك على الأرض."
فلنعد للحديث عن البناء الرياضي، ولنأخذ عليه مثالاً معروفاً جداً، هو الهندسة المستوية، أو، كما تسمى في الرياضيات، الهندسة الإقليدية؛ وهي نفسها التي تُدرَّس لطلاب الصفوف الإعدادية. يتألف البناء الرياضي، كما أسلفنا، من مجموعة من نقاط الانطلاق سوف نسميها بدءاً من الآن "الموضوعات"؛ وهي في الهندسة المستوية – مثالنا – خمس موضوعات:
1.    من كل نقطتين يمر مستقيم واحد
2.    يمكن مدُّ أي مستقيم من نهايتيه بالقدر الذي نشاء
3.    يمكن من أية نقطة إنشاء دائرة نصف قطرها أي طول معطى
4.    جميع الزوايا القائمة متساوية
5.    من نقطة غير واقعة على مستقيم يوجد موازٍ واحد لهذا المستقيم
فلنلاحظ أننا استخدمنا في صياغة هذه الموضوعات مفردات تأخذ معنى خاصاً في علم الهندسة. وتنقسم هذه المصطلحات إلى نوعين: يضم الأول منها الكلمات "مستقيم"، "نقطة"، "تقع بين"، التي تُسمَّى "مفاهيم أولية"؛ ويضم النوع الثاني كلمات مثل "دائرة"، "زاوية"، الخ؛ وهي كائنات هندسية يمكن تعريفها بواسطة المفاهيم الأولية، أو باستخدام مصطلحات سبق تعريفها بدلالة هذه المفاهيم. فالدائرة، على سبيل المثال، هي مجموعة النقط التي يكون البعد الواقع بينها وبين نقطة ثابتة ثابتاً. أما المفاهيم الأولية فتُعتبَر واضحة بذاتها وذات مدلول مشترك عند الجميع، وتجري انطلاقاً منها صياغة كائنات هندسية جديدة تشكل النوع الثاني من المصطلحات.
تؤلف النظريات (المبرهَنات) الجزء الهام من البناء الهندسي. إنها مجموعة من الحقائق، تتعلق بالكائنات الهندسية التي تمَّ تعريفها، وتُستنتَج انطلاقاً من مجموعة الموضوعات الخمس (أو من نظريات أخرى سبق أن استُنتِجت من هذه الموضوعات). كذا يمكننا أن نبرهن مثلاً أن مجموع زوايا المثلث هو 180ْ، وأن قطرَيْ متوازي الأضلاع متناصفان، إلى غير ذلك من الحقائق الهندسية التي يدرسها طلاب المرحلة الإعدادية.
تسمَّى هذه الطريقة في البناء الطريقة الموضوعاتية الاستنتاجية، وهي الطريقة التي تميز ما يُسمَّى بالرياضيات الحديثة

هذا المقال اذا استمر بهذه العظمة فمن الضروري تحويله لملف PDF وتثبيته ها هنا في المنتدى؛ ورغم أنه منقول لكن جهدك في نقله ومشاركته إيانا .. تستحقين عليه مكافأة عظيمة.
شكرا لك انسة ايناس .. والى الجزء الثالث

الأستاذ محمد الدبس كتب:هذا المقال اذا استمر بهذه العظمة فمن الضروري تحويله لملف PDF وتثبيته ها هنا في المنتدى؛ ورغم أنه منقول لكن جهدك في نقله ومشاركته إيانا .. تستحقين عليه مكافأة عظيمة.
شكرا لك انسة ايناس .. والى الجزء الثالث

والله اتمنى منك استاذ محمد تنفيذ هذا الوعد بتحويله لكتاب الكتروني فاود الاحتفاظ به وكباعته واقتناءه في مكتبتي المنزلية

مقال يدرس ويحاضر به شكرا جزيلا لك انسة ايناس

شكرا جزيلا لردودكم الجميلة والمشجعة

شكررررررا انسة ايناس